一元二次方程式

直覺:一次方程式的圖是直線,只碰 x 軸一次;二次方程式的圖是拋物線,可能碰兩次、一次或零次——所以解可能有兩個、一個或沒有。

規則:(1) 因式分解法:分解後各因式為 0;(2) 配方法:$x^2 + bx = c$ 兩邊加 $(\frac{b}{2})^2$ 湊成完全平方再開根號;(3) 公式解:$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$;判別式 $D = b^2 - 4ac$,$D > 0$ 兩相異實根、$D = 0$ 重根、$D < 0$ 無實根。

算例:$x^2 - 4x + 1 = 0$:$(x-2)^2 = 3$,$x = 2 \pm \sqrt{3}$。

為什麼重要:二次函數的頂點與交點、物理的拋體運動、高中的虛數與多項式方程式都從這裡出發。