根與係數關係|高中10年級|數學學院

觀念

$ax^2+bx+c=0$ 的兩根 $\alpha,\beta$ 滿足 $\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$ 、 $\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$ (把 $a(x-\alpha)(x-\beta)$ 展開比較係數就得到)。好處是不必解出根,就能算對稱式: $\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$ 、 $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ 、 $(\alpha-\beta)^2=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$ 。

例: $x^2-3x+1=0$ , $\alpha^2+\beta^2=9-2=7$ 。反過來,已知兩根 $2,5$ ,方程式就是 $x^2-7x+10=0$ 。

根與係數關係在三次方程式、數列遞迴、複數根(共軛成對)與後面的矩陣特徵值都會再出現。

例題

設 $3x^{2}+7x+4 = 0$ 的兩根為 $\alpha, \beta$ ,求 $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ (最簡分數)。

看解法與答案

讀出係數: $a = 3$ 、 $b = 7$ 、 $c = 4$ 。

根與係數關係: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{-7}{3} = -\frac{7}{3}$ , $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{4}{3}$ 。

通分: $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$ 。

代入: $-\frac{7}{3} \div \frac{4}{3} = -\frac{7}{3} \times \frac{3}{4} = -\frac{7}{4}$ 。

答案:

- \frac{7}{4}

用在哪裡

物理彈簧阻尼系統的特徵方程式 $ms^2+cs+k=0$ ,兩根和 $-c/m$ 、積 $k/m$ ,不必解根就能看出振動衰減快慢。
工程控制器設計常反過來用:希望兩個極點落在 $-2$ 與 $-3$ ,特徵式就訂成 $s^2+5s+6$ 再回推增益。
程式已知兩數和 10、積 21,寫成 $x^2-10x+21=0$ 一次解出 3 與 7,是程式競賽常見的還原技巧。

插畫

學習路徑

先學會

一元二次方程式國中 9 年級

互動練習在本機版

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