二次函數極值|高中10年級|數學學院

觀念

$y=ax^2+bx+c$ 配方成 $a(x-h)^2+k$ 後,頂點 $(h,k)$ 就是最大或最小值所在( $a>0$ 開口向上取最小)。應用題常見「周長固定求最大面積」「售價與銷量的利潤最大化」。

例: $y=2x^2-8x+3=2(x-2)^2-5$ ,最小值 $-5$ 在 $x=2$ 。

這是最佳化問題的入門,微積分會把它推廣到任意函數。

如圖為 $y = -2x^{2}+12x-12$ 的圖形。求頂點坐標(依序填 $x$ 、 $y$ ,用逗號分開)。

看解法與答案

提出 $x^2$ 係數 $-2$ : $y = -2(x^2 -6x) - 12$ ;括號內配方 $x^2 -6x = (x - 3)^2 - 9$ 。

乘回去(分配律, $(-2) \times (-9) = 18$ ): $y = -2[(x - 3)^2 - 9] - 12 = -2(x - 3)^2 + 18 - 12 = -2(x - 3)^2 + 6$ 。

頂點 $(3,\ 6)$ 。驗算: $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{12}{2 \cdot (-2)} = 3$ ,代回得 $y = -2(3)^{2} + 12(3) - 12 = -18 + 36 - 12 = 6$ 。

答案:

(3, 6)

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