數列極限

數列 $(a_n)$ 收斂到 $L$ 是說 $n$ 夠大時 $a_n$ 要多接近 $L$ 就多接近。計算工具跟函數極限類似:有理式同除最高次、$\infty-\infty$ 乘共軛、夾擠定理。

幾個必記的極限:$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\to e^x$(複利的極限)、$n\sin\frac{1}{n}\to1$、$\sqrt[n]{n}\to1$、$r^n\to0$($|r|<1$)、$(a^n+b^n)^{1/n}\to\max(a,b)$($a, b\ge0$)。

算例:$\sqrt{n^2+4n} - n = \frac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}\to\frac{4}{2} = 2$。

數列極限是級數理論的基礎(級數收斂就是部分和數列收斂),也是數值方法(牛頓法、迭代法)談「收斂到解」的語言;分析課會用 $\varepsilon$-$N$ 把它定義清楚。