極限計算

極限 (limit) 問的是「$x$ 逼近某點時,$f(x)$ 逼近哪個值」,而不是 $f$ 在那一點的值。這個區分是整個微積分的起點:導數是差商的極限、積分是黎曼和的極限。

三個常用技巧:(1) 因式分解約分:$\frac{0}{0}$ 型先把公因式約掉,例如 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to2}(x+2) = 4$;(2) 同除最高次:$x\to\infty$ 時有理函數先比分子分母的次數,同次就是首項係數比,分子次數較低極限為 0,分子次數較高則發散;(3) 夾擠定理 (squeeze theorem):若 $g\le f\le h$ 且 $g, h$ 極限相同,$f$ 也被夾到同一值,典型例子是 $\lim_{x\to0}x^2\sin\frac{1}{x} = 0$(夾在 $-x^2$ 與 $x^2$ 之間)。

有根號的 $\frac{0}{0}$ 型則乘共軛。這些技巧背後的精神都是:把「代入會爆掉」的式子改寫成等價但能代入的形式。