級數收斂判定

無窮級數 $\sum a_n$ 收斂是指部分和 $S_N = \sum_{n\le N}a_n$ 有極限。判定工具箱:

• 第 $n$ 項檢定:$a_n\not\to0$ 就發散(反之不成立,調和級數 $\sum\frac{1}{n}$ 項趨近 0 仍發散)。
• $p$-級數:$\sum\frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 收斂。幾何級數:$|r|<1$ 收斂。
• 比較/極限比較檢定:跟已知級數比大小。
• 比值檢定:$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\to\rho$,$\rho<1$ 收斂、$>1$ 發散、$=1$ 無法判定;對含 $n!$、$a^n$ 的最有效。
• 交錯級數檢定:$(-1)^n b_n$,$b_n$ 遞減趨近 0 則收斂。

絕對收斂($\sum|a_n|$ 收斂)比條件收斂強:$\sum\frac{(-1)^n}{n^2}$ 絕對收斂,$\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 只是條件收斂。這些判定是泰勒級數收斂半徑、Fourier 級數、機率分布正規化的基礎。