上確界與下確界

集合不一定有最大元(如 $(0,1)$),但在實數中只要非空且有上界就有上確界 (supremum, $\sup$)——最小的上界;同理下確界 (infimum, $\inf$) 是最大的下界。它們可能不屬於集合:$\sup(0,1) = 1$。

實數的完備性公理:每個非空有上界的子集都有上確界。這是 $\mathbb{R}$ 與 $\mathbb{Q}$ 的本質差別——$\{x\in\mathbb{Q}: x^2<2\}$ 在 $\mathbb{Q}$ 裡沒有上確界($\sqrt2$ 不是有理數),在 $\mathbb{R}$ 裡有。沒有這條公理,單調有界數列收斂、中間值定理、極值定理全都不成立。

算例:$\{\frac{1}{n}\}$ 的 $\sup = 1$(最大元)、$\inf = 0$(不在集合內);$\{(-1)^n + \frac{1}{n}\}$ 的 $\sup = \frac{3}{2}$、$\inf = -1$。判斷 $\sup$ 的刻畫:$s$ 是上界,且對任何 $\varepsilon>0$ 都有元素 $> s - \varepsilon$。

$\sup$ 與 $\inf$ 是定義 $\limsup$、黎曼積分(上和下和)、測度的基本語言。