單調有界數列收斂|大學一年級|數學學院

觀念

單調收斂定理:遞增且有上界的實數列必收斂(遞減有下界亦同)。遞迴數列 $a_{n+1}=g(a_n)$ 的標準證明有三步:

(1) 有界:用歸納法,由 $a_k<L$ 推出 $a_{k+1}<L$ ;(2) 單調:算 $a_{n+1}-a_n$ 或 $a_{n+1}^2-a_n^2$ ,利用有界判斷正負;(3) 求極限:先由定理得知極限 $\ell$ 存在,再對遞迴式兩邊取極限解方程,用範圍排除多餘的根。常見漏洞是還沒證收斂就直接取極限。

例: $a_1=0$ , $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 。歸納得 $a_n<2$ ; $a_{n+1}^2-a_n^2=(2-a_n)(a_n+1)>0$ 所以遞增;極限滿足 $\ell^2=2+\ell$ , $\ell=2$ 。

例題

數列滿足 $a_1=0$ , $a_{n+1}=\sqrt{30+a_n}$ ( $n\ge 1$ )。證明: $a_n$ 遞增且有上界 $6$ ,因此收斂,並證明極限是 $6$ 。

看參考證明

有界(歸納): $0\le a_1=0<6$ 。若 $0\le a_k<6$ ,則 $a_{k+1}=\sqrt{30+a_k}<\sqrt{30+6}=6$ 且 $a_{k+1}\ge 0$ 。

所以對所有 $n$ , $0\le a_n<6$ 。

遞增: $a_{n+1}^2-a_n^2=30+a_n-a_n^2=(6-a_n)(a_n+5)>0$ ,兩項都非負,得 $a_{n+1}>a_n$ 。

單調遞增且有上界 $6$ ,由單調收斂定理, $a_n$ 收斂,設極限為 $\ell$ 。

遞迴式兩邊取極限: $\ell=\sqrt{30+\ell}$ , $\ell^2-\ell-30=0$ , $\ell=6$ 或 $-5$ ;因 $\ell\ge a_1\ge 0$ ,所以 $\ell=6$ 。

結論:

a_n

遞增、以

6

為上界,收斂到

6

用在哪裡

投資股利折現模型的部分和 $\sum\frac{D}{(1+r)^t}$ 遞增且不超過 $\frac{D}{r}$ ,所以股票理論價值是有限數。
電腦牛頓法求 $\sqrt{2}$ 的迭代從第二項起遞減且有下界 $\sqrt{2}$ ,保證收斂,計算機開根號就是這樣算。

插畫

學習路徑

先學會

數列極限大一

互動練習在本機版

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