ε-N 極限定義

數列極限的嚴格定義:$a_n\to L$ 是說 $$\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \forall n\ge N:\ |a_n - L|<\varepsilon$$ 讀法:不管你要求多接近($\varepsilon$),我都能找到一個門檻 $N$,過了門檻全部達標。$N$ 依賴 $\varepsilon$——$\varepsilon$ 越小 $N$ 通常越大。

練習的核心是「給 $\varepsilon$ 找 $N$」:解不等式 $|a_n - L|<\varepsilon$ 得 $n$ 的範圍。算例:$a_n = \frac{1}{n}$,$\varepsilon = 0.01$,$\frac{1}{n}<0.01\iff n>100$,$N = 101$。$a_n = \frac{n}{n+1}$:$|a_n - 1| = \frac{1}{n+1}<\varepsilon$。$\frac{1}{2^n}<\frac{1}{1000}$ 要 $n\ge10$。

證明 $a_n$ 不收斂到某個給定的 $L$,就是否定這句話(量詞翻轉):存在某個 $\varepsilon>0$,不管 $N$ 多大都有 $n\ge N$ 使 $|a_n - L|\ge\varepsilon$。要證明極限不存在,得對每一個候選的 $L$ 都這樣排除。

這個定義把「無限接近」從直覺變成可操作的邏輯;函數極限的 $\varepsilon$-$\delta$、一致收斂、連續性都是同一句型的變奏。