Cauchy 序列

Cauchy 序列 (Cauchy sequence):$\forall\varepsilon>0\ \exists N$,$m,n\ge N$ 時 $|a_m - a_n|<\varepsilon$——夠後面的任兩項都靠近,不需要知道極限是誰。這跟收斂定義的差別是:收斂要先有 $L$,Cauchy 不用。

事實:收斂 ⟹ Cauchy(三角不等式);Cauchy ⟹ 有界;在 $\mathbb{R}$ 中 Cauchy ⟹ 收斂,這是完備性的另一種說法。在 $\mathbb{Q}$ 裡不成立:$1, 1.4, 1.41, 1.414,\dots$ 是 Cauchy 卻不收斂到有理數。

常見陷阱:「相鄰項差 $\to0$」不等於 Cauchy——調和級數部分和 $H_n$ 相鄰差 $\frac{1}{n}\to0$,但 $H_{2n} - H_n>\frac{1}{2}$,發散。$(-1)^n$ 有界但不是 Cauchy。

Cauchy 判準讓我們不必猜極限就能證明收斂(級數、迭代法、壓縮映射);「完備度量空間」的定義就是「Cauchy 序列都收斂」,Banach 空間、Hilbert 空間由此出發。