量詞與否定

量詞 (quantifier) 讓邏輯能談「所有」與「存在」:$\forall x\,P(x)$、$\exists x\,P(x)$。否定規則:$$\lnot\forall x\,P(x)\equiv\exists x\,\lnot P(x),\qquad\lnot\exists x\,P(x)\equiv\forall x\,\lnot P(x)$$ 要推翻「所有都」只需一個反例;要推翻「存在」得證明全部都不行。多層量詞從外往內逐層翻轉,最後否定謂詞。

順序很重要:在整數(或實數)中,$\forall x\exists y\,(x+y=0)$ 為真($y$ 可以依 $x$ 選),$\exists y\forall x\,(x+y=0)$ 為假(沒有一個 $y$ 通吃)。極限的 $\varepsilon$-$\delta$ 定義「$\forall\varepsilon\exists\delta\forall x$」正是三層量詞,否定它(證明極限不存在)就得熟練這套翻轉。

算例:「每個正整數都有更大的質數」$\forall n\exists p\,(p\text{ 是質數}\land p>n)$,否定是 $\exists n\forall p\,(p\text{ 是質數}\to p\le n)$,也就是「存在某個 $n$,所有質數都 $\le n$」。

量詞邏輯是數學證明的文法,也是資料庫查詢(SQL 的 EXISTS/ALL)與程式規格驗證的基礎。