連續與一致連續|大學三年級|數學學院

觀念

$f$ 在 $a$ 連續的 $\varepsilon$ - $\delta$ 定義: $\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0$ ,定義域中的 $x$ 只要 $|x-a|<\delta$ 就有 $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ ; $\delta$ 可依賴 $a$ 。一致連續 (uniformly continuous) 更強:同一個 $\delta$ 對整個區間的所有點都有效——量詞順序從 $\forall a\forall\varepsilon\exists\delta$ 變成 $\forall\varepsilon\exists\delta\forall a$ 。

直覺:一致連續要求同一個 $\delta$ 管住整個定義域,「越走越陡」或「在開端點爆掉」常是失敗的原因(但不是判準: $\sqrt x$ 在 0 有垂直切線仍一致連續)。 $x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上越遠越陡,不一致連續; $\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 靠近 0 爆掉,不一致連續;但 $\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 、 $\sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 都一致連續。

Heine–Cantor 定理:閉區間(緊緻集)上的連續函數必一致連續。導數有界 ⟹ Lipschitz 連續 ⟹ 一致連續。

一致連續是黎曼可積性證明的關鍵,也是「極限與積分能否交換」這類問題的入口;閉區間上連續函數的極值定理、中間值定理,都靠緊緻性與完備性撐著。

例題

下列哪個函數在指定區間上一致連續 (uniformly continuous)?

(A) $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $[0, 10^6)$

(B) $f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$

(C) $f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$

(D) $f(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$

① (A)
② (B)
③ (C)
④ (D)

看解法與答案

一致連續: $\delta$ 只依賴 $\varepsilon$ 、不依賴位置。 $f(x) = \sqrt{x}$ 在 $[0, 10^6)$ :有界區間上可延拓到閉區間連續,仍一致連續。

其他選項都不一致連續: $f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ :越遠斜率越大,同一個 $\delta$ 撐不住; $f(x) = \sin\dfrac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ :靠近 0 時在 $-1$ 與 $1$ 之間無限快地震盪; $f(x) = e^x$ 在 $\mathbb{R}$ :越往右斜率越大,同一個 $\delta$ 撐不住。

答案: (A)

用在哪裡

交易買權到期損益 $\max(S-K,0)$ 連續但在履約價有折角,二元選擇權則在履約價直接跳躍,後者避險難度高得多。
工程一致連續保證:只要輸入誤差小於固定的 δ,不論工作點在哪裡輸出誤差都小於 ε,控制器才能用同一組感測精度。

插畫

學習路徑

先學會

ε-N 極限定義大三
連續與不連續點大一

學完可以接著學

一致收斂大三
開集與閉集大四

互動練習在本機版

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