離散隨機變數

隨機變數 (random variable) 把隨機結果編成數字;離散型由機率質量函數 $P(X = x)$ 描述,全部加起來為 1。兩個最重要的摘要量:

• 期望值 $E[X] = \sum x\,P(X=x)$:長期平均、重心。
• 變異數 $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2$:離散程度,開根號是標準差。

線性性質:$E[aX+b] = aE[X]+b$;$\text{Var}(aX+b) = a^2\text{Var}(X)$——平移不影響散布、伸縮要平方。$E$ 對任何隨機變數都可加,$\text{Var}$ 只在獨立(或不相關)時可加。

算例:$X$ 取 $0,1,2$ 機率 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$,$E[X] = 1$、$E[X^2] = \frac{3}{2}$、$\text{Var} = \frac{1}{2}$。

期望值是保險定價、投資報酬、演算法平均複雜度的語言;變異數是風險的量化。二項、幾何、Poisson 都是特定形狀的離散分布。