幾何分布

幾何分布 (geometric distribution) 問「第一次成功要等幾次」:每次獨立、成功率 $p$,$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$$ 前 $k-1$ 次失敗、第 $k$ 次成功。尾機率 $P(X > k) = (1-p)^k$(前 $k$ 次全失敗),期望值 $E[X] = \frac{1}{p}$,變異數 $\frac{1-p}{p^2}$。

它是唯一有無記憶性 (memoryless) 的離散分布:$P(X > s+t\mid X > s) = P(X > t)$——已經失敗了 $s$ 次,接下來的等待分布跟從頭開始一模一樣。賭徒「連輸很多次下一把該贏了」就是違反這條。

算例:骰子擲到 6,$p = \frac{1}{6}$,平均要擲 6 次;前 3 次都沒擲到的機率 $(\frac{5}{6})^3$。

連續版本是指數分布;可靠度工程、排隊理論、「收集全套要買幾包」(coupon collector)都從它出發。