常態分布

常態分布 (normal distribution) $N(\mu,\sigma^2)$ 是鐘形曲線,密度 $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$。它無所不在的原因是中央極限定理:很多小隨機因素相加,結果就趨近常態。

計算一律先標準化:$z = \frac{x-\mu}{\sigma}$ 把任何常態轉成 $N(0,1)$,再查標準常態累積函數 $\Phi(z)$。常用:$\Phi(1) = 0.8413$、$\Phi(2) = 0.9772$、$\Phi(1.96) = 0.975$;對稱性 $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$。

算例:身高 $N(170, 10^2)$,$P(X<185) = \Phi(1.5) = 0.9332$;$P(160<X<180) = 2\Phi(1) - 1 = 0.6826$——這就是 68-95-99.7 法則的第一條。反過來,$P(X<x) = 0.9332$ 對應 $x = 170 + 1.5\times10 = 185$。

信賴區間、假設檢定、品管的六標準差、金融的 VaR,全部建立在 $z$ 值與 $\Phi$ 表上。