樣本平均數與標準差

描述統計的兩個基本量:樣本平均數 $\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i$ 衡量中心,樣本變異數 $$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum(x_i - \bar{x})^2$$ 衡量散布,開根號是樣本標準差 $s$。

為什麼除以 $n-1$ 不是 $n$?因為 $\bar{x}$ 是從同一批資料估出來的,離均差平方和「偏小」;$n-1$(自由度)修正後 $s^2$ 才是母體變異數的不偏估計。中位數 (median) 排序取中間,對極端值不敏感,薪資、房價常用它而非平均。

算例:資料 $2, 4, 4, 6, 9$,$\bar{x} = 5$,離均差平方和 $9+1+1+1+16 = 28$,$s^2 = 7$。

$\bar{x}$ 與 $s$ 是後面所有推論統計(信賴區間、$t$ 檢定)的輸入;知道它們的抽樣分布(CLT)才能從樣本說母體。