反矩陣|大學一年級|數學學院

觀念

方陣 $A$ 的反矩陣 (inverse matrix) $A^{-1}$ 滿足 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ ,存在的充要條件是 $\det A\ne0$ (可逆/非奇異)。有了它, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 的解就是 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$ 。

$2\times2$ 公式: $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$ (主對角線對調、副對角線變號、除以行列式)。一般矩陣用 Gauss–Jordan:把 $[A\mid I]$ 列運算成 $[I\mid A^{-1}]$ 。

性質: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (順序反過來,像脫衣服)、 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ 、 $\det A^{-1} = 1/\det A$ 。

實務上很少真的算反矩陣(數值不穩且慢),而是直接解方程組;但反矩陣的概念是理解可逆變換、座標變換、相似矩陣 $P^{-1}AP$ 的基礎。

例題

求反矩陣 (inverse matrix) $A^{-1}$ , $A = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$ (填矩陣,分數用最簡分數)。

看解法與答案

$2\times 2$ 公式: $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ 。

先算行列式: $ad - bc = (4)(-1) - (-1)(1) = -3$ ,不為 0,所以可逆。

對調主對角線、副對角線變號: $\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ ,再乘 $\dfrac{1}{-3}$ : $A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & -\frac{4}{3} \end{bmatrix}$ 。

答案:

\left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & - \frac{1}{3}\\\frac{1}{3} & - \frac{4}{3}\end{matrix}\right]

用在哪裡

商業Leontief 投入產出模型用 $(I-A)^{-1}$ 算出最終需求多 1 億元時,各產業總共要多生產多少。
投資最小變異數組合權重是 $\frac{\Sigma^{-1}\mathbf 1}{\mathbf 1^T\Sigma^{-1}\mathbf 1}$ ,核心就是共變異數矩陣的反矩陣。
密碼Hill 密碼用矩陣乘法加密,收方乘上模 26 的反矩陣才能還原明文。

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學習路徑

先學會

行列式大一
高斯消去法大一

學完可以接著學

對角化大一
最小平方解大一

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