對角化|大學一年級|數學學院

觀念

若 $n\times n$ 矩陣 $A$ 有 $n$ 個線性獨立的特徵向量,把它們排成 $P$ 、對應特徵值排成對角矩陣 $D$ ,則 $A = PDP^{-1}$ ,這叫對角化 (diagonalization)。意義:換到特徵向量這組基底看, $A$ 只是各方向獨立伸縮。

最大好處是算冪: $A^k = PD^kP^{-1}$ , $D^k$ 只需對角線各自 $k$ 次方。Fibonacci 數列的通項、Markov 鏈 $n$ 步後的分布、線性遞迴的封閉解全靠這招。

可對角化的條件:特徵值相異必可;有重根時要檢查特徵空間維度是否夠(幾何重數 = 代數重數)。 $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ 特徵值 1 重根但只有一個獨立特徵向量,不可對角化(要用 Jordan 形); $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 在實數裡沒有特徵值。對稱矩陣永遠可以正交對角化(譜定理)。

例題

利用對角化 (diagonalization) 計算 $A^{4}$ , $A = \begin{bmatrix} 2 & -12 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ (填矩陣)。

看解法與答案

特徵值 $2, -2$ (和 $= 0 = \text{tr}A$ 、積 $= -4 = \det A$ ),對應特徵向量排成 $P = \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ,則 $A = PDP^{-1}$ , $D = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$ 。

$A^{4} = PD^{4}P^{-1}$ (中間的 $P^{-1}P$ 都抵消),對角矩陣的次方只要各自次方: $D^{4} = \begin{bmatrix} (2)^{4} & 0 \\ 0 & (-2)^{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{bmatrix}$ 。

$\det P = 1$ , $P^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ 。

先乘 $PD^{4} = \begin{bmatrix} -16 & -48 \\ 0 & -16 \end{bmatrix}$ (把 $P$ 的兩行各乘 $16$ 、 $16$ )。

再乘 $P^{-1}$ : $A^{4} = \begin{bmatrix} -16 & -48 \\ 0 & -16 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 0 & 16 \end{bmatrix}$ 。

答案:

\left[\begin{matrix}16 & 0\\0 & 16\end{matrix}\right]

用在哪裡

金融景氣狀態的馬可夫轉移矩陣 $M$ 對角化成 $M=PDP^{-1}$ 後, $M^n=PD^nP^{-1}$ 一步算出 n 季後落在衰退的機率,也看得出長期分布。
物理耦合彈簧系統對角化後拆成互不干擾的振動模態,每個模態用自己的頻率振動,樂器與建築的振動都這樣分析。

插畫

學習路徑

先學會

特徵向量大一
反矩陣大一

互動練習在本機版

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