行列式|大學一年級|數學學院

觀念

行列式 (determinant) 是方陣的一個數,幾何意義是「這個線性變換把面積/體積放大幾倍」(帶正負號表示是否翻轉)。 $\det A = 0$ 等價於 $A$ 把空間壓扁、不可逆、行向量線性相依。

計算: $2\times2$ 是 $ad - bc$ ; $3\times3$ 沿一列餘因子展開 (cofactor expansion),符號 $+,-,+$ 交替;更大的矩陣用列運算化成上三角,三角矩陣的行列式 = 對角線乘積;但交換兩列要變號、某列乘 $k$ 要把行列式除回 $k$ ,只有「某列加上另一列的倍數」不改變行列式。

性質: $\det(AB) = \det A\det B$ 、 $\det A^T = \det A$ 、 $\det A^{-1} = 1/\det A$ 、 $\det(kA) = k^n\det A$ ( $n$ 是階數——常錯成 $k\det A$ )。

行列式出現在特徵方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ 、Cramer 法則、多重積分換元的 Jacobian、以及判斷向量組是否獨立。

例題

求 $3\times 3$ 行列式 $\det\begin{bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & -3 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ 。

看解法與答案

沿第一列餘因子展開 (cofactor expansion): $\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$ , $M_{1j}$ 是劃掉第 1 列、第 $j$ 行後的 $2\times 2$ 行列式,符號 $+,-,+$ 交替。

$M_{11}$ (劃掉 $1$ 的列與行): $\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = (-3)(3) - (-1)(0) = -9$ 。

$M_{12}$ (劃掉 $3$ 的列與行): $\begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -3 & 3 \end{vmatrix} = (3)(3) - (-1)(-3) = 6$ 。

$M_{13}$ (劃掉 $3$ 的列與行): $\begin{vmatrix} 3 & -3 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = (3)(0) - (-3)(-3) = -9$ 。

合併: $(1)(-9) - (3)(6) + (3)(-9) = -9 - (18) + (-27) = -54$ 。

答案:

-54

用在哪裡

投資共變異數矩陣的行列式接近 0 代表資產高度共線,同時放台積電與 0050 時,最佳化出來的權重會極不穩定。
工程機器手臂雅可比矩陣的行列式等於 0 時進入奇異姿態,末端某個方向怎麼轉馬達都動不了。

插畫

學習路徑

先學會

矩陣乘法大一

學完可以接著學

反矩陣大一
線性獨立大一
特徵值大一

互動練習在本機版

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。