高斯消去法|大學一年級|數學學院

觀念

高斯消去法 (Gaussian elimination) 解線性方程組:把增廣矩陣 $[A\mid b]$ 用三種列運算(交換兩列、某列乘非零常數、某列加上另一列的倍數)化成列梯形,再從最後一個方程回代。列運算不改變解集合,這是整個方法的正當性來源。

算例: $x+y=3$ 、 $2x-y=0$ → $\begin{bmatrix}1&1&3\\2&-1&0\end{bmatrix}$ → 第二列減 2 倍第一列 → $\begin{bmatrix}1&1&3\\0&-3&-6\end{bmatrix}$ → $y=2$ 、 $x=1$ 。

化簡後可以看出三種情況:無解(出現 $0 =$ 非零的矛盾列)、沒有矛盾列時又分唯一解(每個變數的行都有主元)與無限多解(有自由變數)。 $n$ 個未知數 $n$ 條方程且 $\det A\ne0$ 時解唯一。

這是所有數值線性代數的起點:LU 分解、求反矩陣、求秩都是它的變形;工程裡解上萬條方程式的有限元素法本質上也是在消去。

用高斯消去法 (Gaussian elimination) 解線性方程組 $\begin{cases} x+3y = -3 \\ 3x+3y = -9 \end{cases}$ 填 $(x, y)$ 的有序組。

看解法與答案

寫成增廣矩陣 $[A\mid b] = \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -3 \\ 3 & 3 & -9 \end{array}\right]$ 。

消去第 1 行主元下方: $R_{2} \to R_{2} - 3R_{1}$ ,得 $\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 3 & -3 \\ 0 & -6 & 0 \end{array}\right]$ 。

由下往上回代。第 2 列: $-6y = 0$ , $y = 0$ ;第 1 列: $x + (3)(0) = -3$ , $x = -3$ 。

解為 $(x, y) = (-3,\ 0)$ 。驗算:代回第一條, $(1)(-3) + (3)(0) = -3$ 。

答案:

(-3, 0)

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