特徵值|大學一年級|數學學院

觀念

特徵值 (eigenvalue) $\lambda$ 與特徵向量 (eigenvector) $\mathbf{v}\ne\mathbf{0}$ 滿足 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ :矩陣作用在這個方向上只是伸縮,不改變方向。它們揭露了變換「真正在做什麼」。

求法: $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 改寫成 $(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ ,要有非零解必須 $\det(A - \lambda I) = 0$ ,這是特徵方程 (characteristic equation)。 $2\times2$ 時就是 $\lambda^2 - (\text{tr}A)\lambda + \det A = 0$ ;三角矩陣的特徵值直接是對角線。

算例: $A = \begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}$ , $\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$ , $\lambda = 1, 3$ 。驗算:特徵值之和 = 跡、之積 = 行列式。

特徵值決定微分方程系統的穩定性、Markov 鏈的長期分布、Google PageRank、主成分分析 (PCA)、振動系統的自然頻率。

例題

求矩陣 $A = \begin{bmatrix} 7 & -6 \\ 9 & -8 \end{bmatrix}$ 的所有特徵值 (eigenvalue),用逗號分開(重根要重複填)。

看解法與答案

$2\times 2$ 的特徵方程: $\det(A - \lambda I) = \lambda^2 - (\text{tr}A)\lambda + \det A = 0$ 。

算跡與行列式: $\text{tr}A = 7 + (-8) = -1$ ; $\det A = (7)(-8) - (-6)(9) = -2$ 。

特徵方程 $\lambda^2 +\lambda -2 = 0$ ,因式分解 $(\lambda +2)(\lambda -1) = 0$ ,特徵值 $\lambda = -2, 1$ 。

驗算:和 $= -1 = \text{tr}A$ ,積 $= -2 = \det A$ 。

答案:

-2, 1

用在哪裡

投資股票相關矩陣的最大特徵值通常遠大於其他,代表全市場一起漲跌的成分;恐慌期它占總變異的比重會明顯升高。
工程大樓振動要解勁度矩陣與質量矩陣的廣義特徵值問題 $K\phi=\omega^2M\phi$ ,特徵值開根號就是自然角頻率,台北 101 的阻尼球就是調到跟大樓主頻率對齊。

插畫

學習路徑

先學會

行列式大一

學完可以接著學

特徵向量大一

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