線性獨立

向量組 $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_k$ 線性獨立 (linearly independent) 是說 $c_1\mathbf{v}_1+\cdots+c_k\mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ 只有全零解——沒有任何一個向量能用其他向量湊出來,沒有多餘的。否則叫線性相依。

判定:把向量排成矩陣,看秩是否等於向量個數;$n$ 個 $n$ 維向量則看行列式是否非零。快速排除:含零向量、兩向量成比例、向量個數超過維度,一定相依。

算例:$(1,2)$ 與 $(3,k)$ 相依 ⟺ $\det = k - 6 = 0$ ⟺ $k = 6$。$\mathbb{R}^3$ 中三向量以它們為列的行列式為 0 就相依。

線性獨立是「基底」與「維度」概念的核心:基底就是獨立的生成組;在統計裡共線性 (multicollinearity) 就是解釋變數接近線性相依,會讓迴歸係數不穩定。