部分分式積分

有理函數 $\frac{P(x)}{Q(x)}$(分子次數小於分母)可以拆成幾個「分母只有一個因式」的簡單分式相加,這叫部分分式分解 (partial fractions);每一塊都容易積:一次因式積出 $\ln$,重根積出 $\frac{1}{x-a}$ 這類負冪次,不可約二次因式則會出現 $\arctan$。

規則:分母因式 $(x-a)$ 對應 $\frac{A}{x-a}$;重根 $(x-a)^2$ 要列 $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{(x-a)^2}$;不可約二次因式對應 $\frac{Ax+B}{x^2+px+q}$。分母是互異一次因式時,求係數可用「遮蓋法」:代入讓某因式為 0 的 $x$ 值;有重根或二次因式時,通分後比較係數,或再代其他 $x$ 值。

算例:$\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$,代 $x=1$:$A = \frac{4}{3}$;代 $x=-2$:$B = \frac{5}{3}$。積分得 $\frac{4}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2| + C$。

分子次數不小於分母時先做多項式除法。這個技巧在 Laplace 逆轉換、控制理論的轉移函數分析裡天天用。