Laplace 轉換|大學二年級|數學學院

觀念

Laplace 轉換 $\mathcal{L}\{f\}(s) = \int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt$ 把微分變成乘法: $\mathcal{L}\{y'\} = sY - y(0)$ 。於是初值問題變成 $s$ 的代數方程,解出 $Y(s)$ 後用部分分式查表轉回 $y(t)$ 。

它特別擅長處理分段輸入(開關)、脈衝(Dirac delta)與卷積;控制理論的轉移函數、電路分析的 $s$ 域,就是 Laplace 轉換的語言。

例題

求 $f(t) = -e^{t}\cos t$ 的 Laplace 轉換 $F(s)$ (用 s 寫,如 (s-1)/((s-1)^2+9))。

看解法與答案

第一平移定理: $\mathcal{L}\{e^{at}g(t)\} = G(s-a)$ ,乘 $e^{at}$ 等於把 $s$ 換成 $s-a$ 。

這裡 $a = 1$ ,不帶指數的部分轉換是 $G(s) = - \frac{s}{s^{2} + 1}$ 。

把 $s$ 換成 $s -1$ : $F(s) = - \frac{s - 1}{\left(s - 1\right)^{2} + 1}$ 。

答案:

\frac{1 - s}{\left(s - 1\right)^{2} + 1}

用在哪裡

金融 $\int_0^\infty e^{-rt}f(t)\,dt$ 正是現金流 $f$ 在 $s=r$ 的 Laplace 轉換,連續複利的現值就是這個轉換值。
工程控制工程用 Laplace 轉換把微分方程變成代數式,冷氣溫控與無人機姿態的 PID 參數都在 $s$ 域調。

插畫

學習路徑

先學會

互動練習在本機版

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