代換積分|大學一年級|數學學院

觀念

代換積分 (substitution) 是鏈鎖法則的逆向:若被積函數長得像 $f(g(x))\,g'(x)$ ,令 $u = g(x)$ 、 $du = g'(x)dx$ ,積分就變成 $\int f(u)\,du$ 。

辨識訣竅:找一個「內層」 $g$ ,看它的導數是否(差一個常數)出現在旁邊。算例: $\int 2x(x^2+1)^3dx$ , $u = x^2+1$ 、 $du = 2x\,dx$ ,得 $\frac{u^4}{4} = \frac{(x^2+1)^4}{4} + C$ 。 $\int\frac{x}{x^2+3}dx$ : $u = x^2+3$ , $x\,dx = \frac{du}{2}$ ,得 $\frac{1}{2}\ln(x^2+3) + C$ 。

定積分代換時上下限也要換;常數差不要緊,只要補係數。這是最常用的積分技巧,三角代換、指數代換都是它的變形;機率課算期望值、物理課算功,九成的積分都靠它。

例題

求 $\displaystyle\int x e^{x^2}\,dx$ (省略常數 $C$ )。

看解法與答案

選代換:令 $u = x^{2}$ (指數),它的導數含 $x$ ,正好配上前面的 $x$ 。

算微分: $du = 2x\,dx$ ,所以 $x\,dx = \dfrac{du}{2}$ 。

換成 $u$ 的積分: $\int e^u\cdot\dfrac{du}{2} = \dfrac{1}{2}\int e^u du = \dfrac{e^u}{2}$ 。

換回 $x$ : $\frac{e^{x^{2}}}{2} + C$ 。

答案:

\frac{e^{x^{2}}}{2}

用在哪裡

金融連續折現的現金流 $\int_0^T Ce^{-rt}dt$ 令 $u=-rt$ 代換,積出現值 $\frac{C}{r}(1-e^{-rT})$ ,算 10 年期租金收入的現值就用它。
統計令 $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ 代換,任何平均與標準差的常態分布都化成同一條標準常態,一張 z 表就能查所有機率。

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不定積分基本型大一

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