多項式除法|高中10年級|數學學院

觀念

整數有「被除數 = 除數 × 商 + 餘數」,多項式也一樣: $f(x)=d(x)q(x)+r(x)$ ,且餘式 $r(x)$ 的次數比除式低。長除法每一步用「目前首項 ÷ 除式首項」決定商的下一項,減掉後繼續。

除式是 $x-a$ 時可用綜合除法:把係數排成一列,左邊放 $a$ ,依序「落下、乘 $a$ 、加上去」,最後一個數是餘數,其餘是商的係數。例: $x^3-2x^2+3x-5$ 除以 $x-2$ ,係數 $1,-2,3,-5$ 經綜合除法得商 $x^2+0x+3$ 、餘 $1$ 。

除法是餘式定理、因式定理、求有理根、部分分式與多項式函數圖形分析的共同工具。

多項式 $f(x) = 2x^{3}+2x^{2}-11x+8$ 除以 $x+3$ ,求餘式(填一個數)。

看解法與答案

用綜合除法(除式 $x - a$ 中 $a = -3$ ),係數列 $[2, 2, -11, 8]$ :

首項 $2$ 直接落下; $2 \times (-3) = -6$ ,加到下一個係數 $2 - 6 = -4$ ; $-4 \times (-3) = 12$ ,加到下一個係數 $-11 + 12 = 1$ ; $1 \times (-3) = -3$ ,加到下一個係數 $8 - 3 = 5$ 。

最後一個數是餘式 $5$ ,前面的是商式係數,得商式 $2x^{2}-4x+1$ 。

檢查: $(x+3)(2x^{2}-4x+1) + (5) = 2x^{3}+2x^{2}-11x+8$ 。

答案:

5

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