相似形與比例線段

直覺:影印放大 150% 的圖和原圖「形狀相同、大小不同」——角都一樣、邊都乘同一個倍率,這就是相似。影子測樹高、地圖、縮尺模型都靠它。

規則:相似判定:AA(兩角相等)、SAS(兩邊成比例且夾角相等)、SSS(三邊成比例)。相似比 $m : n$ 則周長比 $m : n$、面積比 $m^2 : n^2$。平行線截比例線段:$\overline{DE} \parallel \overline{BC}$ 時 $\overline{AD} : \overline{DB} = \overline{AE} : \overline{EC}$。直角三角形斜邊上的高 $h$ 把斜邊分成 $p$、$q$ 兩段,則 $h^2 = pq$。

算例:人高 160、影長 200,樹影 800,樹高 $160 \times 4 = 640$。

為什麼重要:三角比(sin、cos)之所以只跟角度有關,正是因為相似三角形邊長比固定;這是高中三角學的根。