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相似形的應用

國中 9 年級 · 空間與形狀

觀念

直覺:量不到的高度與距離,用相似三角形換算:樹的影子、河的寬度、相機成像、縮尺地圖。

規則:畫出兩個相似三角形,寫出對應邊的比例式,再解未知數;注意「對應」要照角度配對。

算例:路燈高 6 公尺,人高 1.5 公尺站在燈下 3 公尺處,影長 $x$ : $\frac{1.5}{6} = \frac{x}{x+3}$ , $x = 1$ 。

為什麼重要:這是把幾何用在測量上的直接應用,也是高中三角測量的前身。

例題

如圖,要測河寬 $\overline{AB}$ : $A$ 是對岸的一棵樹, $B$ 在本岸正對 $A$ , $D$ 在 $\overleftrightarrow{AB}$ 上離河更遠的地方。沿河岸量 $\overline{BC} = 4$ 公尺且 $\overline{BC} \perp \overline{AD}$ ,在 $D$ 作 $\overline{DE} \perp \overline{AD}$ ,使 $A$ 、 $C$ 、 $E$ 在同一直線上。量得 $\overline{BD} = 8$ 公尺、 $\overline{DE} = 6$ 公尺,河寬幾公尺?

看解法與答案

$\overline{BC} \parallel \overline{DE}$ (都垂直 $\overline{AD}$ ),所以 $\triangle ABC \sim \triangle ADE$ (AA)。設河寬 $\overline{AB} = x$ :

$\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AD}} = \dfrac{\overline{BC}}{\overline{DE}}$ , $\dfrac{x}{x + 8} = \dfrac{4}{6}$ 。

$6x = 4x + 32$ , $2x = 32$ , $x = 16$ 公尺。

答案:

16

用在哪裡

建築同一時刻 1 公尺竹竿影長 1.5 公尺、大樓影長 45 公尺,用相似三角形算出樓高 30 公尺。
交通伸直手臂用 2 公分寬的拇指(離眼 60 公分)剛好遮住 5 公尺長的車,車距約 150 公尺。
物理針孔相機裡 2 公尺高的物體離孔 10 公尺,底片離孔 5 公分,成像高 1 公分。

插畫

學習路徑

先學會

相似形與比例線段國中 9 年級

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