級數與 Σ 求和

級數就是把數列的項加起來。等差級數 $S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$(首尾配對);等比級數在 $r\ne1$ 時 $S_n=\dfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}$(錯位相減),$r=1$ 時 $S_n=na_1$。$\Sigma$ 記號的三個常用公式:$\sum_{k=1}^{n} k=\dfrac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$,而且 $\Sigma$ 是線性的,可以拆項、提出常數。

例:$\sum_{k=1}^{10}(3k+1)=3\cdot55+10=175$。遇到 $\dfrac{1}{k(k+1)}$ 就拆成 $\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$,相加後中間全部抵消。

級數是積分(無限多個小面積相加)與機率期望值的前身。