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數學歸納法

高中 10 年級 · 代數

觀念

要證明一個敘述 $P(n)$ 對所有正整數成立,只需兩步:(1) 起始:驗證 $P(1)$ ;(2) 歸納:假設 $P(k)$ 成立,推出 $P(k+1)$ 成立。像一排骨牌,第一張倒了,而且每張倒都會推倒下一張,整排就全倒。

例:證 $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 。 $n=1$ 時兩邊都是 1;假設 $n=k$ 成立,兩邊加上第 $k+1$ 項: $\dfrac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\dfrac{(k+1)(k+2)}{2}$ ,正是公式在 $n=k+1$ 的樣子。

歸納法是處理「無限多個情況」的標準武器,演算法正確性、遞迴關係與離散數學都靠它。

數學歸納法的歸納步驟中,假設 $n = t$ 時敘述成立( $t \ge 1$ ),接著要證明什麼?

看解法與答案

歸納步驟是「骨牌效應」:假設第 $t$ 張倒下(歸納假設),要證明它會推倒第 $t+1$ 張,也就是由 $n = t$ 成立推出 $n = t+1$ 成立。

配合起始步驟( $n = 1$ 成立): $1$ 推到 $2$ 、 $2$ 推到 $3$ ……就能推到所有正整數。

答案選 ⑤: $n = t+1$ 時也成立。「 $n = t-1$ 時也成立」方向反了(往回推);「對所有 $n$ 都成立」是整個證明的結論,不是這一步要證的東西。

答案:

n = t+1

時也成立

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