等差與等比數列

等差數列每項加固定的公差 $d$:$a_n=a_1+(n-1)d$;等比數列每項乘固定的公比 $r$:$a_n=a_1 r^{n-1}$。兩項之間差幾個「步數」是解題核心:等差 $a_n-a_m=(n-m)d$,等比 $\dfrac{a_n}{a_m}=r^{n-m}$。

例:等差 $a_3=7$、$a_8=22$,則 $5d=15$,$d=3$,$a_1=1$。等比中項 $G$ 滿足 $G^2=ab$,等差中項是 $\dfrac{a+b}{2}$。

等差描述線性成長(每月固定存款),等比描述指數成長(複利、人口、半衰期);它們是級數、極限與金融數學的入口。