無窮等比級數|高中12年級|數學學院

觀念

$|r|<1$ 時 $r^n\to0$ ,所以等比級數的前 $n$ 項和 $\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ 收斂到 $\dfrac{a}{1-r}$ ; $|r|\ge1$ 則發散。循環小數就是無窮等比級數: $0.\overline{3}=\dfrac{3/10}{1-1/10}=\dfrac{1}{3}$ 。

例: $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\cdots=2$ ;球從 10 公尺落下每次反彈 $\dfrac{1}{2}$ ,總路徑 $=10+2\cdot\dfrac{5}{1-1/2}=30$ 公尺。

「無限多項加起來是有限值」是微積分的核心直覺,也是年金現值、碎形面積與機率母函數的工具。

例題

把循環小數 $0.2555\ldots$ 化成最簡分數。

看解法與答案

不循環的部分先拆出來: $0.2\overline{5} = \dfrac{2}{10} + \left(\dfrac{5}{100} + \dfrac{5}{1000} + \cdots\right)$ 。

括號是首項 $\dfrac{5}{100}$ 、公比 $\dfrac{1}{10}$ 的級數: $\dfrac{5}{100} \div \dfrac{9}{10} = \dfrac{5}{90}$ 。

通分相加: $\dfrac{2}{10} + \dfrac{5}{90} = \dfrac{18}{90} + \dfrac{5}{90} = \dfrac{23}{90}$ 。

答案:

\frac{23}{90}

用在哪裡

金融永續年金每年配 5 萬、折現率 5%,現值是無窮等比級數 $\sum 5/1.05^n=100$ 萬元。
投資股利折現模型:明年股利 3 元、每年成長 2%、要求報酬 8%,合理價 $3/(0.08-0.02)=50$ 元。
社會政府發 100 億消費券,若每人把收入的 80% 花掉,一輪輪傳下去總消費 $100/(1-0.8)=500$ 億。
醫療每天吃一顆藥、一天後體內只剩一半,長期累積量趨近 $\frac{1}{1-0.5}=2$ 顆的穩定值。

插畫

講解影片

學習路徑

先學會

極限高中 12 年級
級數與 Σ 求和高中 10 年級

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