直線方程式|高中10年級|數學學院

觀念

直線由「一個點 + 一個斜率」決定。斜率 $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 是每往右 1 單位上升多少;點斜式 $y-y_1=m(x-x_1)$ 一行就能寫出方程式。一般式 $ax+by+c=0$ 在 $b\ne0$ 時斜率是 $-\dfrac{a}{b}$ ( $b=0$ 是鉛直線,斜率不存在);平行線斜率相同,兩條斜率都存在的直線互相垂直時斜率相乘為 $-1$ (水平線與鉛直線也互相垂直)。

例:過 $(1,2)$ 、 $(3,8)$ 的直線: $m=3$ , $y-2=3(x-1)$ ,即 $y=3x-1$ 。兩直線交點就是聯立方程式的解。

直線是線性模型的幾何形式,後面的向量、線性規劃、迴歸直線與切線都在用同一套語言。

例題

如圖,求過 $(3,\ 6)$ 與 $(6,\ -5)$ 兩點的直線方程式,寫成 $y = mx + k$ ,填右側的 $mx + k$ 。

看解法與答案

先算斜率: $m = \dfrac{-5 - (6)}{6 - (3)} = \frac{-11}{3} = -\frac{11}{3}$ 。

用點 $(3,\ 6)$ 寫點斜式: $y - (6) = (-\frac{11}{3})(x - (3))$ 。

右邊展開再把 $-6$ 移過去: $y = -\frac{11}{3}x+11 + 6 = -\frac{11}{3}x+17$ 。

答案:

- \frac{11}{3} x + 17

用在哪裡

物理等速運動 $x=x_0+vt$ 是一條直線:高鐵以 300 km/h 巡航時,位置對時間圖的斜率就是 300。
商業損益兩平:固定成本 20 萬、每件賺 500 元,利潤線 $y=500x-200000$ 與 $x$ 軸交在 400 件。
生活溫度換算 $F=1.8C+32$ 是斜率 1.8、截距 32 的直線,30°C 對應 86°F。
交易技術分析的趨勢線用兩個波段低點定出斜率,往右延伸就是下一個可能的支撐價位。

插畫

學習路徑

先學會

一次函數與斜率國中 8 年級

學完可以接著學

點到直線距離高中 10 年級
平面向量高中 11 年級
線性規劃高中 11 年級
切線方程式高中 12 年級

互動練習在本機版

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