切線方程式|高中12年級|數學學院

觀念

曲線在 $x=a$ 的切線通過 $(a,f(a))$ 、斜率為 $f'(a)$ ,所以切線是 $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ 。反過來「哪一點的切線斜率是 $m$ 」就是解 $f'(x)=m$ ;與某直線平行就是斜率相等。

例: $y=x^2-3x$ 在 $x=2$ : $f(2)=-2$ 、 $f'(2)=1$ ,切線 $y=x-4$ 。 $y=x^3-3x$ 上切線斜率為 0 的點: $3x^2-3=0$ , $x=\pm1$ 。

切線是函數的局部線性近似,牛頓法求根、誤差估計與物理中的瞬時速度都建立在它上面。

求曲線 $y = x^{2}-4$ 在 $x = 0$ 處的切線斜率。

看解法與答案

切線斜率就是該點的導數值 $f'(0)$ 。先微分: $f'(x) = 2x$ 。

代入 $x = 0$ : $f'(0) = 2(0) = 0$ 。

答案:

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