信賴區間

點估計 $\bar{x}$ 只是一個數,信賴區間 (confidence interval) 補上不確定性。母體 $\sigma$ 已知、且母體常態(或樣本數夠大,靠 CLT 近似)時,$\mu$ 的 $(1-\alpha)$ 信賴區間是 $$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ 95% 用 $z = 1.96$、90% 用 1.645、99% 用 2.576。$z\sigma/\sqrt{n}$ 叫誤差界 (margin of error)。

正確解讀:若重複抽樣很多次、每次都算區間,約 95% 的區間會蓋住真正的 $\mu$;不是「$\mu$ 落在這個區間的機率是 95%」($\mu$ 是固定的數,不是隨機的)。

算例:$\sigma = 10$、$n = 25$、$\bar{x} = 100$,95% 區間 $100\pm1.96\times2 = [96.08, 103.92]$。要讓誤差界 $\le1$,需 $n\ge(1.96\times10/1)^2\approx385$。

$\sigma$ 未知時改用 $t$ 分布;民調的「誤差 ±3%」就是 $n\approx1000$ 時比例的 95% 誤差界。