大數法則與中央極限定理

兩個定理解釋為什麼「平均」這麼可靠。

大數法則 (law of large numbers):獨立同分布的樣本平均 $\bar{X}_n\to\mu$(機率收斂:$n$ 越大,$\bar{X}_n$ 離 $\mu$ 超過任何固定誤差的機率越趨近 0)。它談的是平均會穩定,不是個別值會接近 $\mu$,更不會「補償」之前的偏差(賭徒謬誤)。

中央極限定理 (central limit theorem):樣本獨立同分布,不論母體什麼形狀(只要變異數有限且 $\sigma>0$),$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ 的分布趨近 $N(0,1)$(分配收斂)。關鍵量是標準誤 $\sigma/\sqrt{n}$——要把誤差減半,樣本要變 4 倍。

算例:母體 $\mu = 50$、$\sigma = 10$,抽 25 個,$\bar{X}$ 近似 $N(50, 2^2)$,$P(\bar{X} > 53) = 1 - \Phi(1.5) = 0.0668$。擲 36 顆骰子總和近似 $N(126, 105)$。

CLT 是整個古典統計推論的基礎:為什麼民調只抽一千人、為什麼 $z$ 檢定與信賴區間能用常態、為什麼測量誤差呈鐘形。