極式與棣美弗定理

複數 $z = x + iy$ 可寫成極式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$,$r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$ 是模 (modulus),$\theta = \text{Arg}\,z\in(-\pi,\pi]$ 是主幅角 (principal argument),由象限決定。歐拉公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ 把指數與三角接在一起。

極式讓乘法變簡單:模相乘、幅角相加。推論就是 De Moivre 定理:$(re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta}$——$n$ 次方只需模的 $n$ 次方與幅角乘 $n$。$|z^n| = |z|^n$ 更是不必展開。

算例:$1 + i = \sqrt2e^{i\pi/4}$,$(1+i)^8 = 16e^{2\pi i} = 16$;$(\sqrt3 + i)^3 = 8e^{i\pi/2} = 8i$。$\text{Arg}(-1-i) = -135^\circ$(第三象限)。

極式是複數的「幾何語言」:旋轉就是乘 $e^{i\theta}$,交流電的相量、Fourier 分析、碎形迭代都靠它;$n$ 次根與解析函數都從這裡出發。