n 次方根

$w\ne0$ 時,$z^n = w$ 在複數裡恰有 $n$ 個相異解($w = 0$ 只有 $z = 0$)。寫 $w = re^{i\theta}$,則 $$z_k = \sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2k\pi)/n},\quad k = 0,1,\dots,n-1$$ 幾何上是半徑 $\sqrt[n]{r}$ 的圓上、等間隔 $\frac{360^\circ}{n}$ 的 $n$ 個點——正 $n$ 邊形的頂點。

算例:$z^3 = 8$:$2$、$2e^{2\pi i/3} = -1 + \sqrt3i$、$2e^{4\pi i/3} = -1 - \sqrt3i$。$z^4 = 16$:$\pm2, \pm2i$。$z^2 = 2i$:設 $z = x+iy$ 比較實虛部得 $\pm(1+i)$。

$w = 1$ 時叫 $n$ 次單位根 $\omega_k = e^{2k\pi i/n}$,它們構成循環群,$n\ge2$ 時和為 0,積為 $(-1)^{n-1}$;同時是 $n$ 次與 $m$ 次單位根的有 $\gcd(n,m)$ 個。

單位根是離散 Fourier 轉換與 FFT 的核心,也是分圓多項式、正多邊形尺規作圖(Gauss 的正十七邊形)的主角;代數基本定理保證 $n$ 次多項式恰有 $n$ 個複根(重根按重數計),這是最簡單的例子。