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三角函數值

高中 11 年級 · 函數

觀念

xy150°P−√3/21/2P = (cos θ, sin θ)O

把角放在坐標平面,終邊上任一點 (x,y)(x,y)、到原點距離 rr,定義 sin⁡θ=yr\sin\theta=\dfrac{y}{r}、cos⁡θ=xr\cos\theta=\dfrac{x}{r}、tan⁡θ=yx\tan\theta=\dfrac{y}{x};這樣任何角都有正弦、餘弦值(正切在終邊落在 yy 軸上、x=0x=0 時沒有定義),符號由象限決定(一全正、二正弦、三正切、四餘弦)。求值的步驟:看象限定正負,再用參考角(終邊與 xx 軸的夾角)查特殊角。

例:sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin150^\circ=\sin30^\circ=\dfrac{1}{2};cos⁡210∘=−32\cos210^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{2}。同角關係 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 讓你從一個值加上象限推出其他兩個;誘導公式 sin⁡(180∘−θ)=sin⁡θ\sin(180^\circ-\theta)=\sin\theta、cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta)=\cos\theta 等都是對稱性的結果。

這是所有三角內容(定理、公式、圖形、向量夾角)的共同基礎。

例題

xy第1象限IIIIIIIVO

若 θ\theta 的終邊在第 11 象限(圖中塗色區),則 sin⁡θ\sin\theta、cos⁡θ\cos\theta、tan⁡θ\tan\theta 的正負號依序為?

  1. ① sin⁡θ\sin\theta -、cos⁡θ\cos\theta +、tan⁡θ\tan\theta -
  2. ② sin⁡θ\sin\theta +、cos⁡θ\cos\theta -、tan⁡θ\tan\theta -
  3. ③ sin⁡θ\sin\theta +、cos⁡θ\cos\theta +、tan⁡θ\tan\theta +
  4. ④ sin⁡θ\sin\theta -、cos⁡θ\cos\theta -、tan⁡θ\tan\theta +
看解法與答案

單位圓上 sin⁡θ\sin\theta 是 yy 坐標、cos⁡θ\cos\theta 是 xx 坐標、tan⁡θ=sin⁡θ÷cos⁡θ\tan\theta = \sin\theta \div \cos\theta。

第 11 象限的點:xx 為正、yy 為正,所以 sin⁡\sin 正、cos⁡\cos 正,tan⁡\tan = 正÷正 = 正。

答案選 ③:sin⁡θ\sin\theta +、cos⁡θ\cos\theta +、tan⁡θ\tan\theta +(口訣:一全正、二正弦、三正切、四餘弦)。

答案: sin⁡θ\sin\theta +、cos⁡θ\cos\theta +、tan⁡θ\tan\theta +

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