偏導數|大學二年級|數學學院

觀念

多變數函數 $f(x,y)$ 的偏導數 (partial derivative) $\frac{\partial f}{\partial x}$ 是「固定 $y$ 、只讓 $x$ 動」的變化率——把其他變數當常數,用單變數的微分法則即可。

算例: $f = x^2y + 3xy^3$ , $f_x = 2xy + 3y^3$ 、 $f_y = x^2 + 9xy^2$ 。二階混合偏導數 $f_{xy}$ 先對 $x$ 再對 $y$ ;Clairaut 定理說只要二階偏導連續, $f_{xy} = f_{yx}$ ,順序無所謂。

幾何上 $f_x$ 是曲面沿 $x$ 方向切片的斜率。偏導數是梯度、方向導數、Hessian、Lagrange 乘數的原料;物理的熱方程、波方程、經濟學的邊際效用、機器學習的損失函數對每個參數的梯度,全都是偏導數。

設 $f(x,y) = - 3 x^{2} y - 3 x y^{3} + 2 x$ ,求 $f_y(1, 1)$ 。

看解法與答案

對 $y$ 偏微分,把 $x$ 當常數。逐項: $- 3 x^{2} y \to - 3 x^{2}$ 、 $- 3 x y^{3} \to - 9 x y^{2}$ 、 $2 x \to 0$ 。

所以 $f_y = - 3 x^{2} - 9 x y^{2}$ 。

代 $(x,y) = (1,1)$ : $f_y = (-3)\cdot(1)^2 + (-9)\cdot(1)\cdot(1)^2 = -3 + (-9) = -12$ 。

答案:

-12

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