微分法則|大學一年級|數學學院

觀念

三條法則把「會微分的簡單函數」組合成任何複雜函數的導數:

算例: $y = (x^2+1)^5$ ,外層 $u^5$ 導數 $5u^4$ ,內層導數 $2x$ ,所以 $y' = 10x(x^2+1)^4$ 。

鏈鎖法則在多變數微積分變成雅可比矩陣相乘,在機器學習裡就是反向傳播 (backpropagation) 的數學本質。

用商法則 (quotient rule) 求 $f(x) = \dfrac{3 x - 3}{x^{2} + 3}$ 的導函數 $f'(x)$ 。

看解法與答案

$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ , $u = 3 x - 3$ 、 $v = x^{2} + 3$ 、 $u' = 3$ 、 $v' = 2x$ 。

分子: $3(x^{2} + 3) - (3 x - 3)(2x) = - 3 x^{2} + 6 x + 9$ 。

所以 $f'(x) = \dfrac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{(x^{2} + 3)^2}$ 。

答案:

\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 9}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}}

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