二元函數極值

可微函數 $f(x,y)$ 的臨界點是 $f_x = f_y = 0$(梯度為零向量)的點(一般情形還包括偏導數不存在的點)。要分類它是極大、極小還是鞍點 (saddle point),用二階導數檢定:令 $$D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2$$(Hessian 矩陣的行列式)。$D>0$ 且 $f_{xx}>0$:局部極小;$D>0$ 且 $f_{xx}<0$:局部極大;$D<0$:鞍點(某方向上升、某方向下降,像馬鞍);$D=0$ 無法判定。

算例:$f = x^2 - y^2$ 在原點 $D = (2)(-2) - 0 = -4 < 0$,鞍點;$f = x^2 + xy + y^2$:$D = 4 - 1 = 3 > 0$、$f_{xx} = 2 > 0$,極小。

$D$ 的正負其實在問 Hessian 是正定、負定還是不定;在更高維度就用特徵值的符號判斷。這是最佳化理論與統計(最大概似估計)的基本工具。