瑕積分

瑕積分 (improper integral) 處理兩種「不正常」:積分範圍到無窮遠,或被積函數在某點無界。做法是先把無窮遠(或無界的那一點)換成有限的 $b$,積完再取極限:$\int_1^\infty f = \lim_{b\to\infty}\int_1^b f$。極限存在就說收斂,否則發散;無界點在區間內部時要拆成兩段,兩段都收斂才算收斂。

關鍵基準:$\int_1^\infty\frac{dx}{x^p}$ 在 $p>1$ 收斂(值為 $\frac{1}{p-1}$)、$p\le1$ 發散;$\int_0^1\frac{dx}{x^p}$ 剛好相反,$p<1$ 收斂。$\int_0^\infty e^{-ax}dx = \frac{1}{a}$($a>0$;$a\le0$ 時發散)。

算例:$\int_1^\infty\frac{dx}{x^2} = \lim_{b\to\infty}(1 - \frac{1}{b}) = 1$——無限長的區域可以有有限面積;但 $\int_1^\infty\frac{dx}{x}$ 發散,$\ln b$ 沒有上限。

機率密度函數必須在整條實數線積分為 1,期望值、Gamma 函數、Laplace 轉換全都是瑕積分;級數的積分檢定也靠它。