指數分布

指數分布 (exponential distribution) 描述「等待下一次事件要多久」:率 $\lambda$,密度 $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$($t\ge0$),存活函數 $$P(X > t) = e^{-\lambda t}$$ $E[X] = \frac{1}{\lambda}$、$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$、中位數 $\frac{\ln2}{\lambda}$(比平均小,分布右偏)。

它是幾何分布的連續版,同樣有無記憶性:$P(X > s+t\mid X>s) = e^{-\lambda t}$,燈泡用了 100 小時後的剩餘壽命分布跟新的一樣——所以它適合「隨機故障」而非「老化磨損」。

算例:$\lambda = 2$(每小時 2 次),等超過 1 小時的機率 $e^{-2}\approx0.135$。

Poisson 過程的事件間隔就是指數分布;排隊理論 (M/M/1)、可靠度、放射衰變的半衰期($\frac{\ln2}{\lambda}$)都是它。