連續與不連續點

$f$ 在 $a$ 連續 (continuous) 的定義是三件事同時成立:$f(a)$ 有定義、$\lim_{x\to a}f(x)$ 存在、兩者相等。直覺上就是「圖形在那裡不斷掉」。

不連續點分三種:可去 (removable)——極限存在但函數值缺了或錯了,補一個值就好,如 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$;跳躍 (jump)——左右極限都存在但不相等,分段函數接縫常見;無窮 (infinite)——分母趨近 0,圖形有垂直漸近線。

算例:$f(x) = \frac{x^2-9}{x-3}$($x\ne3$)在 $x=3$ 的極限是 6,定義 $f(3)=6$ 就連續。

連續性是中間值定理、極值定理、微積分基本定理的共同前提;在分析課裡會用 $\varepsilon$-$\delta$ 把它說得更精確。