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度量空間

大四 · 拓樸

觀念

度量空間 (metric space) 是配備距離函數 $d$ 的集合, $d$ 滿足非負且 $d(x,y) = 0 \iff x = y$ 、對稱、三角不等式。 $\mathbb{R}^n$ 的歐氏距離、曼哈頓距離、函數空間的 $\sup$ 距離、編輯距離都是例子。距離給出開球、開集、收斂、Cauchy 序列、連續的定義,分析課的所有 $\varepsilon$ - $\delta$ 論證在這裡原樣搬過來。

完備度量空間(Cauchy 序列都收斂)上的壓縮映射定理 (Banach fixed point):壓縮映射有唯一不動點且迭代必收斂——ODE 解的存在唯一性、牛頓法、Google PageRank 的收斂證明都用它。

例題

在 $\mathbb{R}^2$ 中, $p = (3, 3)$ 、 $q = (8, -9)$ 。求最大值距離 $d_\infty(p,q) = \max|p_k - q_k|$ 。

看解法與答案

各坐標差的絕對值: $5, 12$ 。

$d_1 = 5 + 12 = 17$ ; $d_2 = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ ; $d_\infty = 12$ 。

所求 $= 12$ 。三種距離永遠滿足 $d_\infty\le d_2\le d_1$ ——同一個集合可以配不同的度量,但在 $\mathbb{R}^n$ 上它們定義出相同的開集。

答案:

12

用在哪裡

交易找相似走勢時把每段 60 天走勢當成一個點,用歐氏距離或最大偏離距離衡量,距離選得不同,找出的「相似型態」也不同。
AI人臉辨識把照片嵌入度量空間,同一人的兩張照片距離小於設定閾值就判定為同一人。

插畫

度量空間:情境插畫

度量空間:例題插畫

學習路徑

先學會

Cauchy 序列大三
內積與正交大一

學完可以接著學

Banach 空間大四

互動練習在本機版

這個網站是觀念與例題的閱讀版。互動練習(每次出不同數字的新題、自動判對錯、錯題本、熟練度與複習排程)在「數學學院」本機版,目前還沒對外開放。