絕對收斂與重排

$\sum a_n$ 絕對收斂 (absolutely convergent) 是 $\sum|a_n|$ 收斂;收斂但不絕對收斂叫條件收斂 (conditionally convergent)。絕對收斂 ⟹ 收斂(Cauchy 判準 + 三角不等式),反向不成立:$\sum\frac{(-1)^n}{n}$ 收斂到 $-\ln2$,但絕對值是調和級數。

兩者的行為天差地遠。Riemann 重排定理:條件收斂的級數可以重新排列成收斂到任何實數、甚至發散——因為正項部分的和發散到 $+\infty$、負項部分的和發散到 $-\infty$,可以輪流取用去逼近目標。絕對收斂的級數則怎麼重排、怎麼分組,和都不變。

判定:先對 $\sum|a_n|$ 用比值、比較、$p$-級數檢定;不行再對原級數試交錯級數檢定。算例:$\sum\frac{\sin n}{n^2}$ 絕對收斂(被 $\frac{1}{n^2}$ 壓住);$\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ 條件收斂。

冪級數在收斂半徑內絕對收斂,而且在半徑內的每個閉區間上一致收斂,所以可以逐項微分、積分、乘開——這是泰勒級數能當多項式用的理由。