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群的判定

大三 · 抽象代數

觀念

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群 (group) 是一個集合配一個二元運算,滿足四條:封閉(運算結果仍在集合內)、結合律、有單位元 ee、每個元素有反元素。交換律不是必要條件,滿足的叫交換群 (abelian)。

檢查範例:(Z,+)(\mathbb{Z},+) 是群;(Z,×)(\mathbb{Z},\times) 不是(2 沒有整數反元素);(R,×)(\mathbb{R},\times) 不是(0 沒有反元素),去掉 0 就是;(Z,−)(\mathbb{Z},-) 不是(減法不結合);(Zn,+)(\mathbb{Z}_n,+) 是;可逆矩陣在乘法下是群(非交換);正方形的對稱操作構成 8 元素的二面體群 D4D_4。

群的威力在於它抓住了「對稱」的本質:幾何對稱、置換、Rubik 方塊、物理守恆律(Noether 定理)、密碼學的離散對數,全是群。從四條公理出發,能推出單位元唯一、反元素唯一、消去律等性質,這就是抽象化的回報——證一次,處處適用。

例題

下列何者是群 (group)?

(A) (Z,+)(\mathbb{Z}, +)

(B) (Z,×)(\mathbb{Z}, \times)

(C) (R,×)(\mathbb{R}, \times)

(D) (Z,−)(\mathbb{Z}, -)

  1. ① (A)
  2. ② (B)
  3. ③ (C)
  4. ④ (D)
看解法與答案

群的四條件:封閉、結合律、單位元、每個元素有反元素。

(Z,+)(\mathbb{Z}, +):整數加法:封閉、結合律、單位元 0、反元素 −a-a。

其他:(R,×)(\mathbb{R}, \times) 0 沒有乘法反元素;(Z,×)(\mathbb{Z}, \times) 2 沒有整數反元素;(Z,−)(\mathbb{Z}, -) 減法不滿足結合律:(1−1)−1≠1−(1−1)(1-1)-1 \ne 1-(1-1)。

答案: (A)

用在哪裡

插畫

群的判定:例題插畫

學習路徑

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