子群判定證明|大學三年級|數學學院

觀念

群 $G$ 的子集 $H$ 是子群,只要驗三件事:(1) 非空(通常說單位元在 $H$ );(2) 封閉: $a,b\in H\Rightarrow ab\in H$ ;(3) 反元素: $a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H$ 。結合律從 $G$ 繼承,不必再驗。

寫法:先確認 $H$ 真的是 $G$ 的子集,再用 $H$ 的描述(例如「形如 $nk$ 」)寫出任意兩元素,算出運算結果並說明它仍符合描述。常見漏洞是只舉例,或忘了驗反元素。

例:偶數 $2\mathbb{Z}$ 在 $(\mathbb{Z},+)$ 中: $0=2\cdot 0$ ; $2s+2t=2(s+t)$ ; $-(2s)=2(-s)$ ,所以是子群。

證明: $H=\{z\in\mathbb{C} : z^{6}=1\}$ ( $1$ 的 $6$ 次方根)是乘法群 $(\mathbb{C}\setminus\{0\},\times)$ 的子群。

看參考證明

$H$ 是子集: $z^{6}=1$ 則 $z\ne 0$ 。非空: $1^{6}=1$ ,所以 $1\in H$ 。

封閉:任取 $z,w\in H$ , $(zw)^{6}=z^{6}w^{6}=1\cdot 1=1$ (乘法交換),所以 $zw\in H$ 。

反元素: $z\in H$ 時 $(z^{-1})^{6}=(z^{6})^{-1}=1^{-1}=1$ ,所以 $z^{-1}\in H$ 。

三條件都成立,由子群判定法, $H$ 是子群。

結論:

1

的

6

次方根構成乘法子群

密碼Diffie-Hellman 金鑰交換在模質數乘法群的子群裡運算,先確認子集是子群,運算結果才不會跑出去。
交易同一價格區間內台股的價格變動量都是升降單位(如 0.5 元)的整數倍,兩次變動相加、反向變動仍是整數倍,這些變動量構成 $(\mathbb{R},+)$ 的子群 $0.5\mathbb{Z}$ 。

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