元素的階

元素 $g$ 的階 (order) 是最小正整數 $m$ 使 $g^m = e$(加法群寫 $mg = 0$);不存在則階為無窮。它衡量「這個元素要重複幾次才回到原點」。

計算:在 $(\mathbb{Z}_n,+)$ 中 $k$ 的階是 $\frac{n}{\gcd(n,k)}$;在乘法群 $U(n)$ 中直接算 $a, a^2, a^3,\dots$ 直到 1;置換的階是其不相交循環長度的 $\text{lcm}$。

算例:$\mathbb{Z}_{12}$ 中 8 的階 $= 12/4 = 3$;$U(7)$ 中 3 的冪 $3,2,6,4,5,1$,階 6(3 是生成元);循環型 $(2,3)$ 的置換(例如 $(1\,2)(3\,4\,5)$,一個 2-循環配一個 3-循環)階 $\text{lcm}(2,3) = 6$。

在有限群中,Lagrange 定理保證元素的階整除群的階——這就是費馬小定理($p$ 質數、$p\nmid a$ 時 $a^{p-1}\equiv1\pmod p$)的群論解釋。元素的階決定它生成的循環子群大小,是分類有限群、設計 Diffie–Hellman 密鑰交換(要選大階元素)的基本量。